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新课程函数问题研究

发表时间:2013-01-16 点击次数

     《新课程函数问题研究》是河南省教育科学“十一五”规划课题——普通高中课程改革相关问题研究(课题编号:2009-JKGHBG-0955)的一项重要成果。由大象出版社出版。该成果结合新课程标准,把高中数学中涉及到的函数问题作主线,对函数的定义域与值域、函数的性质及应用、函数中的数学思想方法探究、 二次函数的重要作用、 三角函数问题研究、高考中的分段函数、抽象函数专题研究、函数的最值问题研究、函数中的参数问题、导数的应用、函数法证明不等式赏析、函数模型例说等十二个问题进行了归纳整理、引申思考。

    一、基本观点

    1.函数描述了客观世界中相互关联的量之间的依存关系,是对问题本身的数量特征及其制约关系的一种刻画,函数思想的实质是用联系和变化的观点找出数学对象之间的数量关系,并用函数的概念和性质解决相关问题。与函数相衔接的内容有方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等,所以函数是高中数学的一条主线。在函数的三要素中,函数的定义域和值域是函数的灵魂,因此研究函数首先必须注重函数的定义域和值域。

    2.函数性质是高考的重点、热点,函数的基本性质:周期性、对称性、奇偶性、单调性在题目中常以隐含条件的形式隐蔽在题设中,不易被同学们发现,解题时若注意挖掘并加以使用,可以使一些问题的解答干净利落。比如,函数的对称性不仅广泛存在于数学问题之中,对称关系还充分体现了数学之美。

    3.数学思想方法是数学问题解决的灵魂,注重数学思想方法的渗透与领悟,能高屋建瓴地分析、解决问题,潜移默化地培养创新思维意识。而函数思想是数学思想方法中最为闪亮的一朵奇葩。数学学习的一个重要内容就是培养学生的数学思维能力,学数学不仅要学知识,更要学思考、学思想.函数思想的运用正是学生解决新问题时绕过障碍的常用方法.通过对已有信息的分析和新问题的思考,运用函数思想不仅可以多角度解决同一个问题,而且可以锻炼思维能力。

    二、主要创新和学术价值

    随着高考改革的不断深入,高考命题更加科学化、人性化、透明化,这是对学生有利的一个方面,但高考竞争依然激烈。面对如此激烈的高考竞争和学习竞争,新课程改革的唯一办法就是,让学生掌握科学的学习理念,做到学会学习。

    比如众所周知的高考备考,这不仅仅是高三的任务,而是高中三年的任务,过去那种仅仅靠大量做题的办法,无论如何也没法适应高考新形势的要求。作者认为学生从高一开始就要把握所学知识的核心规律、发展方向,调整备考理念;从高一开始就要学会准确地把握考纲要求,并加以科学的运用;从高一开始就要形成适合自己的备考方法。简单地说就是:理念、信息、方法。以理念、信息、方法的出发点,对新课程函数问题进行研究是此项研究成果的创新之处。从高考的视角研究新课程中的函数问题,则充分体现了此项研究成果的学术价值。

     1.理念。传统的学习理念需要升华,需要确立正确的全程备考的学习理念。过去很多考生不重视教材,一味地追求能力的提高,而忽视了最为基础的得分手段,不注重知识的梳理和总结,知识之间没有建立相互的关联,形成自己的知识网络。高考必须做题,甚至是多多益善,怎样科学做题,做适合自己的题却无人关注,只是苛求自己的薄弱环节,而不重视自己的优势发挥。

针对这些情况,我们要学会及时准确地掌握信息,并加以科学的运用;掌握分层命题的操作,实现分层备考;通过诊断分析,做到量化备考,提高备考效率;加强适应性训练和封闭性训练,提高得分能力。在现代社会,掌握高考信息并不难,用好这些信息却非常难,尤其是按照自己的实际有选择地、准确到位地运用信息就难上加难了,所以同学们要培养把握高考信息的理念,用“拿来主义”的观点对待各种信息。高考是分层命题的,不同的试题是为不同水平的学生准备的。作为考生要准确定位,了解自己的真实水平,做自己该做的事。然后,在此基础上不断地进步、提高。从高一开始的备考中,运用各种诊断工具,检测、量化学习现状,然后有针对性地予以提升。针对每次考试,必须按高考的标准来要求自己、按高考的标准来评价试卷。

     2.信息。高考信息对学生来说十分重要。比如,“高考命题进一步回归教材”。从近年来的高考情况看,高考命题已经开始回归学科本质,相应地,在备考中,我们就要重视挖掘教材的考评价值,可以从高考和教材的直接联系入手,如教材中函数的典型例题、典型实例;可以从对形成学科思想有帮助的相关内容,如函数中的小结、引言等入手;可以从体现新课程理念和特点的内容入手,如导数的性质与应用;可以从中学忽视,而在大学很重要的内容入手,如二次函数和抽象函数。又如,“摆正知识、思想方法和能力之间的关系”。由于高考的特殊需要,在命题中注重基础知识,强调学科中知识的立体化、体系化、网络化;注重思想方法,强调学科本身的思想方法以及综合;注重能力要求,强调综合、应用和创新。

因此,同学们从高一开始就要在学习过程中注重高考信息的渗透,学会把握高考信息、学会筛选信息、学会为我所用。适合自己备考的信息,就是真正有效的备考信息。

     3.方法。面对激烈的学习竞争、高考竞争,过去那种大量做题的做法,无论如何也无法适应高考新的要求。作者认为学生必须具备全程备考的学习理念,在解题过程中要不断强化探新、探析、探疑,也就是所谓的“三探法”,只有这样才能使自己在高中三年的学习中夯实基础、提高能力,在高考中取得好的成绩。

    探新,能力的培养是学生提高能力最有效的手段。在学习的过程中不能单纯地依赖模仿与记忆,而应主动地观察、猜测、推理与交流,以获得知识,形成技能,发展思维,促使学生在解题的过程中注重探究新思路,寻找多种方法,学会主动的富有个性的学习。

探析,不仅仅是分析题设条件和结论以及它们之间的联系,更重要的是分析命题人的命题意图,即命题人想通过此题考查我们哪些知识点、哪种数学思想方法,只有这样才能准确把握解题方向,在众多解题方法中,优选解题方案,避免小题大做,达到事半功倍的效果。

    探疑,学贵有疑,在解题过程中学生容易走弯路或做错的题有很多,如果把这些题搁置在一边,不去探究其背后的深刻原因,不去进行整理、归纳、反思,就不可能学会全方位地审清题意,充分挖掘隐含条件,也不可能在质疑中发现问题,提高创新能力。

     三、学术影响或社会效益

     函数问题是高中数学的重要内容,作为现代数学主要目标之一,对函数问题引申给中学数学教学带来了无限生机。因为它是衔接代数、几何与三角等高中数学的纽带,把函数和函数思想穿插、渗透和融合到其他数学内容中,已成为数学试题中一道靓丽的风景。对函数问题的专题研究得到了广大一线教师的认可;对函数相关知识进行梳理与整合,也为高中学生提高解题能力提供了一把金钥匙。此项研究成果具有一定的学术影响。

     四 、内容摘要

     第一章  函数的定义域与值域

     函数描述了客观世界中相互关联的量之间的依存关系,是对问题本身的数量特征及其制约关系的一种刻画,函数思想的实质是用联系和变化的观点找出数学对象之间的数量关系,并用函数的概念和性质解决相关问题.与函数相衔接的内容有方程、不等式、数列、三角函数、解析几何等,所以函数是高中数学的一条主线.在函数的三要素中,函数的定义域和值域是函数的灵魂,因此研究函数首先必须注重函数的定义域和值域.

     第二章  函数的性质及应用

函数是中学数学的主线,是整个高中数学的基础。对函数性质的考查是高考的重点、热点,函数的基本性质:周期性、对称性、奇偶性、单调性在题目中常以隐含条件的形式隐蔽在题设中,不易被同学们发现,解题时若注意挖掘并加以使用,可以使一些问题的解答干净利落。比如,函数的对称性不仅广泛存在于数学问题之中,对称关系还充分体现了数学之美。

 

   第三章  函数中的数学思想方法探究

数学思想方法是数学问题解决的灵魂,注重数学思想方法的渗透与领悟,能高屋建瓴地分析、解决问题,潜移默化地培养创新思维意识.

    第一节  迅速建立解题思路的几点策略

    解题是数学学习的重要活动,解题过程实质就是充分挖掘已知条件,选择合理可行的解题思路和途径,将已知条件进行优化组合与变形、化简、整理,逐步达到所求目标的过程.通过审题,能否迅速形成解题思路是决定解题速度和提高解题能力的关键.

    第四章   二次函数的重要作用

    二次函数属于形式简单的非线性函数,是高中数学中最基本、重要的函数之一.熟练掌握二次函数的本质、特征,综合运应其对称、单调、奇偶和有界等性质及其灵活的形式变化,可解决分析函数中的许多问题.本章重点阐述二次函数的重要作用,如解析式的确定、二次函数最值、 其它函数依托二次函数解决问题的思维方法等问题.

    第五章   三角函数问题研究

    三角函数问题是中学数学重要内容之一,在数学的各个分支中都有广泛的应用,同时也是历年高考的一个热点。在解决三角函数问题过程中,注意对所蕴涵的数学思想进行挖掘、提炼和渗透,熟练运用数学思想指导解题,不仅可以有效地掌握三角函数知识,驾驭三角函数问题的求解,而且对开发智力,培养能力,优化思维也有着十分重要的意义。

    第六章  高考中的分段函数 

    所谓分段函数指的是自变量在不同的取值范围内,有不同的表达式.它是一个函数,不是几个函数的组合,只不过它有多个对应关系.但分段函数在教材中是以例题的形式出现的,并未作深入说明,学生对此认识比较肤浅,可是分段函数在每年的高考中却屡屡出现,值得同学们对有关问题进行整理和归纳.

    第七章  抽象函数专题研究 

    抽象函数是相对于具体函数而言的,它没有给出具体的函数解析式,所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力.从许多具体函数中抽象、升华得来的抽象函数,往往将函数图象的对称性、周期性等隐含于其中,以函数方程形式出现,目的是加强学生对数学语言与数学符号的阅读能力的理解.解决此类问题,无需求出函数方程的解,只要发现或破解题中隐含条件,确定或运用满足函数方程的函数性质, 便能很快寻得解题的有效策略.

    第八章  函数的最值问题研究

    最值问题是高考的热点问题之一.初等函数最值问题虽然不象高等数学有统一的用导数求解的方法,但是也有“基本不等式法”、“判别式法”、“三角换元法”、“配方法” 等常用的方法.

     第九章  函数中的参数问题

在近几年在高考数学试题中,以函数问题为背景的求参数的取值范围已成为高考热点问题,在全国各省的高考题中客观题和主观题都频繁出现,且出题方式在不断改变和创新.

在近几年的高考数学试题中,以函数问题为背景的求参数的取值范围已成为高考热点问题,在全国各省的高考题中,客观题和主观题都频繁出现,且出题方式在不断改变和创新。因此,同学们要加强这方面的研究,提高自己处理问题的能力。

     第十章  导数的应用

    导数的工具性作用奠定了它在高考中的重要地位,必然会出现命题者在知识网络交汇点设计创新型能力题的趋势.我们要特别关注用导数知识解决高考的热点问题,领悟从问题的提出到解决的思维过程,使知识和方法融合在一起,不断提高分析和解决问题的能力.

    第十一章 函数法证明不等式赏析

    函数与不等式是一对孪生兄弟,一直是高考的热点问题,它不仅出现在选择、填空题中,也出现在解答题中. 经常与集合、函数的定义域、对数指数函数的性质等结合在一起考核.

    第十二章  函数模型例说

    数学学习的一个重要内容就是培养同学们的数学思维能力.学数学不仅要学知识,更要学思考,学思想.模型思想的运用正是同学们解决新问题时绕过障碍的常用方法.通过对已有信息的分析和新问题的思考,运用模型思想不仅可以多角度解决同一个问题,而且可以锻炼思维能力.

 

     五、目录

    第一章  函数的定义域与值域

    第一节 函数定义域优先原则

    第二节  考查函数定义域的常见题型

    第三节  定义域对解题结论的作用与影响

    第四节  求函数值域的七种基本类型

    第五节  求函数值域的方法

    第二章  函数的性质及应用

    第一节  对函数周期性的探索

    第二节  函数图象对称问题

    第三节  函数的奇偶性及在解题中的应用

    第四节  “对号”函数的性质及其应用

    第三章  函数中的数学思想方法探究

    第一节  迅速建立解题思路的几点策略

    第二节  方程思想

    第三节  数形结合思想

    第四节  分类讨论思想

    第五节  正难则反思想

    第六节  构造思想解决函数问题

    第七节  联想与类比思想

    第八节  转化与化归思想

    第九节  整体思想

    第十节  特殊化思想

    第四章   二次函数的重要作用

    第一节  二次函数的重要意义例析

    第二节  根的分布问题有规律

    第三节   二次函数综合问题例析

    第四节  二次函数图象的妙用

    第五章   三角函数问题研究

    第一节  三角函数基本概念剖析

    第二节  三角变换与多解

    第三节  活用数学思想,妙解三角问题

    第四节  谈三角函数最值的求解

    第五节  三角函数问题错解辨析

    第六章  高考中的分段函数

    第一节  关于分段函数的几个问题

    第二节  分段函数的三种性质

    第三节  几种特殊形式的分段函数

    第七章  抽象函数专题研究

    第一节   抽象函数的对称性与周期性

    第二节 抽象函数定义域的求法

    第三节  破解抽象函数方程的方法

    第四节  抽象函数模型化

    第八章  函数的最值问题研究

    第一节  二次函数在闭区间内求最值的基本题型

    第二节  二元函数最值问题的解题策略

    第三节 分式函数最值问题的处理方法

    第四节  三角函数最值问题的解题策略

    第五节  从几道例题的推广谈数学思维发散

    第九章  函数中的参数问题

    第一节 函数中的参数问题

    第二节  不等式中的含参问题

    第三节  参数问题的求解策略

    第四节  提防参数求值中的陷阱

    第十章  导数的应用

    第一节 值得关注的几个问题

    第二节  导数的工具价值

    第三节  导数应用中常见典型错误剖析

    第四节   函数与导数交汇处命题的十种题型

    第五节  三次函数的性态

    第六节 导数逆向思维问题分类解析

    第十一章 函数法证明不等式赏析

    第一节  函数单调性在证明不等式中的应用

    第二节  利用二次函数的判别式解不等式

    第三节 变更主元法解不等式

    第四节 根据函数最值解不等式

    第五节  巧用函数图象解不等式

    第六节 探索型不等式探究

    第十二章  函数模型例说

    第一节  联系模型思想  锻炼解题思维

    第二节  指数函数模型的应用

    第三节   线性规划的应用与思考

     第四节  数学模型的具体应用

 



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