《解析几何》高考解答题分解与还原

慕泽刚  (重庆市九龙坡区渝西中学   401326)

 

纵观今年新课标高考试题，可以发现，源于课本例题、练习题、习题的试题占了一定的份量.有些高考试题是对课本习例题、练习题、题或知识点的改编、重组；有些试题是对课本原题进行改编而成的.“重基础、考能力”，“源于课本、高于课本”，做到“两个有利”是高考命题的原则．因此，对课本进行合理的利用，特别是对课本习题进行挖掘、引申﹑改造与重组，显得尤为重要.下面就2007年的山东卷的解析几何解答题进行分析，探求与课本知识的关系.

例1（2006江苏）已知三点P(5，2)、F₁(－6，0)、F₂(6，0).

(Ⅰ)求以F₁、F₂为焦点且过点P的椭圆的标准方程；

(Ⅱ)设点P、F₁、F₂关于直线y＝x的对称点分别为P¢、F₁¢、F₂¢，求以F₁¢、F₂¢为焦点且过点P¢的双曲线的标准方程.

解：(Ⅰ)由题意，可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，其半焦距c＝6，

2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝＋＝6，∴a＝3，

b²＝a²－c²＝45－36＝9，故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

(Ⅱ)点P(5，2)、F₁(－6，0)、F₂(6，0)关于直线y＝x的对称点分别为P¢(2，5)、F₁¢(0，－6)、F₂¢(0，6).

设所求双曲线的标准方程为－＝1(a₁＞0，b₁＞0)，由题意知半焦距c₁＝6，

2a₁＝||P¢F₁¢|＋|P¢F₂¢||＝|－|＝4，∴a₁＝2，

∴b＝a－c＝36－20＝16，故所求双曲线的标准方程为－＝1.

分解子题与基础还原：

子题1：已知椭圆两个焦点的坐标分别是F₁(－6，0)、F₂(6，0)，并且椭圆经过点P(5，2)，求椭圆的标准方程.

解：因为椭圆的焦点在x轴上，所以可设所求椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，

由椭圆定义知2a＝|PF₁|＋|PF₂|＝＋＝6，∴a＝3，

又其半焦距c＝6，∴b²＝a²－c²＝45－36＝9，

故所求椭圆的标准方程为＋＝1.

基础还原题1：此子题源于人教大纲版教材第93页例2第(2)小题﹑新课标A版教材选修2－1第38页例1、新课标B版教材选修2－1第43页例1的第(2)小题，只是数字方面改变了，解法都是利用直接法求得标准方程的中的a、b.

子题2：求点P(5，2)﹑F₁(－6，0)、F₂(6，0)关于直线y＝x的对称点P¢﹑F₁¢、F₁¢，

解：关于y＝x的对称的两个点的坐标互换即可，

∴点P(5，2)、F₁(－6，0)、F₂(6，0)关于直线y＝x的对称点分别为P¢(2，5)、F₁¢(0，－6)、F₂¢(0，6)

基础还原题2：此题源于人教大纲版教材第54页习题7.3第10题﹑新课标A版教材必修2第106页第11题、新课标B版教材必修2第101页第17题的变式题，三种教材上都是同一类型的题，都涉及到求特殊直线x轴(y＝0)的对称点.

子题3：已知双曲线两个焦点的坐标分别是F₁¢(0，－6)、F₂¢(0，6)，并且双曲线经过点P¢(2，5)，求双曲线的标准方程.

解：已知双曲线的焦点在x轴上，所以可设所求双曲线的标准方程为－＝1(a₁＞0，b₁＞0)，

由双曲线的定义知，2a₁＝|P¢F₁¢|＋|P¢F₂¢|＝|－|＝4，∴a₁＝2，

又其半焦距c₁＝6，∴b＝a－c＝36－20＝16，

故所求双曲线的标准方程为－＝1.

基础还原题3：此题源于人教大纲版教材第108页练习题第4题的第(2)小题﹑新课标A版教材选修2－1第53页练习题第1题的第(3)小题、新课标B版教材修2－1第53页例题1的第(2)题的变式题，只是数字方面改变了，解法都是利用直接法求得标准方程的中的a、b.

例2(07山东)已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）若直线l：y＝kx＋m与椭圆C相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．

解：(I)由题意设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，a＋c＝3，a－c＝1，a＝2，c＝1，b＝3，

∴椭圆的标准方程为＋＝1.

(II)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0，

△＝64m²k²－16(3＋4k²)(m²－3)＞0，即3＋4k²－m²＞0，∴x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

又y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)＝k²x₁x₂＋mk(x₁＋x₂)＋m²＝，

∵以AB为直径的圆过椭圆的右顶点D(2，0)，k_AD·k_BD＝－1，即·＝－1，

∴y₁y₂＋x₁x₂－2(x₁＋x₂)＋4＝0，∴＋＋＋4＝0，

∴7m²＋16mk＋4k²＝0，解得m₁＝－2k，m₂＝－，且均满足3＋4k²－m²＞0，

当m＝－2k时，l：y＝k(x－2)，直线过定点(2，0)与已知矛盾；

当m＝－时，l：y＝k(x－)，直线过定点(，0)，

综上可知，直线l过定点，定点坐标为(，0).

分解子题与基础还原

子题1：已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1．求椭圆C的标准方程.

解：(Ⅰ)设椭圆的标准方程为＋＝1(a＞b＞0)，，a＝2，c＝1，b＝3²，∴＋＝1.

基础还原题1：此子题源于人教大纲版教材P103页第5题、新课标A版教材选修2-1第47页习题第8题﹑新课标B版教材选修2-1第48页例2在已知条件与所求的结论上是完全一样，只不过教材上的这个例题是天文为实际背景的一个，解法都是利用待定系数法.

子题2：若直线l：y＝kx＋m与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），求实数k、m满足的条件.

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由，得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0，

∵直线l与椭圆C相交于A，B两点，则△＝64m²k²－16(3＋4k²)(m²－3)＞0，3＋4k²－m²＞0，

基础还原题2：此子题源于人教大纲版教材P132页复习参考题第12题﹑新课标A版教材选修2-1第85页习题第5题类似：教材上的题是求含有参数k的直线与已经双曲线相交时参数k的取值范围.此子题的直线方程含有两个参数k和m，同时将教材的题中的双曲线改为椭圆，探求的k、m的关系，其解法完全相同.同时此子题与新课标B版教材选修2-1第69页例1类似，处理方法相同都要考虑相交的条件.

子题3：已知l：y＝kx＋m(3＋4k²－m²＞0，k为已知常数)与椭圆C：＋＝1相交于A，B两点（A，B不是左右顶点），且以AB为直径的圆过椭圆C的右顶点，求实数m的值

解：设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，由，得(3＋4k²)x²＋8mkx＋4(m²－3)＝0，

x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，

y₁y₂＝(kx₁＋m)(kx₂＋m)